Analysis für Informatiker: Grundlagen, Methoden, Algorithmen by Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann

By Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann

Diese grundlegende Einführung in die research wendet sich an Informatiker im ersten Studienabschnitt. Um speziell auf die Bedürfnisse des Informatikstudiums einzugehen, haben die Autoren diesem Werk folgende Konzepte zugrunde gelegt: Algorithmischer Zugang, schlanke Darstellung, software program als integrativer Bestandteil, Betonung von Modellbildung und Anwendungen der research. Der Gegenstand des Buches liegt im Spannungsfeld zwischen Mathematik, Informatik und Anwendungen. Hier kommt dem algorithmischen Denken ein hoher Stellenwert zu. Der gewählte Zugang beinhaltet: Entwicklung der Grundlagen der research aus algorithmischer Sichtweise, Vergegenständlichung der Theorie mittels MATLAB- und Maple-Programmen und Java-Applets, Behandlung grundlegender Konzepte und Verfahren der numerischen research. Das Buch kann ab dem ersten Semester als Vorlesungsgrundlage, als Begleittext zu einer Vorlesung oder im Selbststudium verwendet werden.

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Sobolev Gradients and Differential Equations (Lecture Notes in Mathematics)

A Sobolev gradient of a real-valued sensible on a Hilbert house is a gradient of that practical taken relative to an underlying Sobolev norm. This booklet indicates how descent tools utilizing such gradients enable therapy of difficulties in differential equations.

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3. Der Strahlensatz. Offensichtlich gelten in Abb. 3 die Beziehungen a a = , c c b b = , c c a a = , b b da bei einer Ver¨ anderung das Maßstabs (Vergr¨oßerung oder Verkleinerung des Dreiecks) alle Seiten mit dem gleichen Faktor ver¨andert werden. Man schließt daraus, dass die Verh¨ altnisse der Seiten nur vom Winkel α (beziehungsweise angen. Das gibt Anlass zu folgender Definition. 2 (Winkelfunktionen) a c b cos α = c a tan α = b b cot α = a sin α = F¨ ur 0 ≤ α < 90◦ definiert man Gegenkathete Hypotenuse Ankathete = Hypotenuse Gegenkathete = Ankathete Ankathete = Gegenkathete = (Sinus), (Cosinus), (Tangens), (Cotangens).

1 α2 α3 . . (n) ur alle n gilt: mit A(n) ∈ N0 , αj ∈ {0, 1, . . , 9}. Es existiert ein T ≥ 0, sodass f¨ (n) (n) an ≤ T . Somit ist auch A ≤ T f¨ ur alle n. Die Folge (A )n≥1 ist aber eine monoton wachsende, beschr¨ ankte Folge nat¨ urlicher Zahlen und muss daher ihre kleinste obere Schranke A letztlich erreichen (und dort bleiben). Es gilt daher ab einem gewissen n0 ∈ N: A(n) = A f¨ ur alle n ≥ n0 . Wir haben damit die Ziffern vor dem Komma f¨ ur einen Grenzwert a konstruiert: a = A. . (n) ur α1 .

4 Eine Folge (an )n≥1 heißt monoton wachsend, wenn gilt: n≤m ⇒ an ≤ am ; (an )n≥1 heißt monoton fallend, wenn gilt n≤m ⇒ an ≥ am ; ankt oder von oben beschr¨ ankt, falls gilt (an )n≥1 heißt nach oben beschr¨ ∃T ∈ R ∀n ∈ N : an ≤ T. Die kleinste obere Schranke heißt Supremum. Das Supremum ist jene reelle Zahl T0 = sup an n∈N welche die beiden Bedingungen erf¨ ullt: (a) f¨ ur alle n ∈ N ist an ≤ T0 ; ur alle n ∈ N, so muss T ≥ T0 sein. F. Verhulst, 1804–1849. 46 5 Folgen und Reihen Wir werden unten zeigen, dass jede nach oben beschr¨ankte reellwertige Folge tats¨ achlich ein Supremum besitzt.

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