Finite Elemente: Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in by Dietrich Braess

By Dietrich Braess

Bei der numerischen Behandlung partieller Differentialgleichungen treten oft überraschende Phänomene auf. Neben der zügigen Behandlung der klassischen Theorie, die bis an die aktuelle Forschung heranführt, wird deshalb viel Wert auf die Darstellung von Beispielen und Gegenbeispielen gelegt. Die Beispiele haben mit dazu beigetragen, dass das Buch jetzt zu den Standardwerken bei den Finiten Elementen zählt.

Mit der fünften Auflage erfolgte eine weitere Abrundung bei den Themen, deren Bedeutung  in den letzten Jahren gewachsen ist. Mit der Theorie der a posteriori Fehlerschätzer wird  a priori info über den Diskretisierungsfehler  gewonnen, die in der klassischen Theorie noch nicht hergeleitet wurden und die – schärfer als sonst –eine Eigenart von a posteriori Schätzern beleuchtet. Die Behandlung von Platten in der Festkörpermechanik erhält jetzt mit dem Zwei-Energien-Prinzip eine solide Grundlage, nachdem in der letzten Auflage die Behandlung von Locking Effekten in eine vollständige Theorie mündete.

Das Buch richtet sich an Studierende der Mathematik im three. Und four. Studienjahr und in den späteren Kapiteln auch an junge Forscher, bei denen Finite Elemente im Mittelpunkt ihrer Arbeit stehen.

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Versehen mit der Norm IIxII2 := Lm x;'. Die Form I: 2-mXmYm 00 a(x, y) := m=1 ist zwar positiv und stetig, aber nicht koerziv. Auch ist durch (C, x) := L:=12-mxm ein stetiges lineares Funktional gegeben. ledoch nimmt lex) = ~a(x, x) - (C, x) nicht sein Minimum in C2 an. Die notwendige Bedingung fUr eine Minimallasung ist hier 0 offensichtlich Xm = I fUr m = 1, 2, .... Sie wird von keinem x E C2 erfiillt. Nach diesen Vorbereitungen kannen wir den Lasungsbegriff prazisieren. 8 Definition. Eine Funktion u E HJ (Q) heiBt schwache LOsung der elliptischen Randwertaufgabe 2.

X n)1 2dt. Da die rechte Seite unabhangig von x, ist, folgt SchlieBlich wird tiber die anderen Koordinaten integriert. :s s2lvlf, Damit ist alles bewiesen. 6 Bemerkung. Zum Nachweis der Poincare-Friedrichsschen Ungleichung waren Nullrandbedingungen nur auf einem Teil des Randes notig. Wenn r = an stiickweise glatt ist, gentigt es, daB die Funktion auf einem Teil des Randes rD verschwindet und rD eine Menge mit positivem n - I-dimensionalen MaB ist. :s m - I, v E H:;,(n) gilt. Durch eine Induktion erhalt man 30 II.

Ftir Punkte, deren Abstand vom Rand gr6Ber als h ist, haben die vier Nachbam einen einheitlichen Abstand (s. Abb. 2). Dagegen braucht man fUr Punkte in der Nahe I. Einfiihrung 16 (x - hw, y) (x, y) W (x+ho,Y) o Z (x,y-hs) S Abb. 3. Koordinaten der Nachbarpunkte in den vier Himmelsrichtungen bei unterschiedlichen Schrittweiten des Randes Formeln, in denen ho der Taylorschen Formel 2 = ho(ho + hw) Uo - i= hw und hN i= hs sein darf. Man berechnet mittels 2 2 + hw(ho + hw) Uw + O(h) fUr U E C 3 (n).

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