Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen: Nichtsteife, by Karl Strehmel, Rüdiger Weiner, Helmut Podhaisky

By Karl Strehmel, Rüdiger Weiner, Helmut Podhaisky

Das Lehrbuch enthält eine umfangreiche und aktuelle Darstellung der numerischen Behandlung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen und differentiell-algebraischer Systeme. Neben theoretischen Fragestellungen werden praktische Aspekte der Implementierung und Anwendung von Verfahren und von software program diskutiert. Das Buch ist aus Vorlesungen und Seminaren hervorgegangen, die die Autoren über viele Jahre für Studenten an der Universität Halle gehalten haben.

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Sei p − 1 die Ordnung des ersten Baumes. Die beiden anderen B¨aume haben einen Knoten mehr, sind also von Ordnung p. 4 gilt f¨ ur die ersten beiden B¨aume 1 1 = = γ([t1 , . . 26) j und 1 1 = = γ([t1 , . . , tk , ]) pγ(t1 ) · · · γ(tk ) bj Φj (t1 ) · · · Φj (tk ) · Φj ( ) . 27) =cj Die Ordnungsbedingung f¨ ur den dritten Baum 1 1 = = γ([[t1 , . . 25) gilt. 5. 5 ist die Ordnungsbedingung f¨ ur den Baum erf¨ ullt, falls D(1) gilt und die Bedingungen f¨ ur die B¨aume und erf¨ ullt sind. 6 (Butcher Schranken).

26 2 Einschrittverfahren Ein nochmaliges Einsetzen dieser Beziehung in die rechte Seite des Verfahrens ergibt um+1 = um + hf (um + hf (um ) + O(h2 )) = um + hf (um + hf (um )) + O(h3 ). Damit folgt um+1 = y(tm ) + hf (y(tm ) + hf (y(tm ))) + O(h3 ). Durch Abgleich der Glieder in der Taylorentwicklung der exakten L¨osung y(tm+1 ) = y(tm ) + hf (y(tm )) + h2 fy (y(tm ))f (y(tm )) + O(h3 ) 2 mit den entsprechenden Gliedern der Taylorentwicklung der N¨aherungsl¨osung um+1 = y(tm ) + hf (y(tm )) + h2 fy (y(tm ))f (y(tm )) + O(h3 ) ergibt sich f¨ ur das implizite Euler-Verfahren die Konsistenzordnung p = 1.

T1 , . . , t1 , t2 , . . , t2 , . . , tk , . . , tk ] =: [tl11 , tl22 , . . , tlkk ]. l1 l2 lk Die Dichte γ(t) ist definiert durch γ( ) = 1 ur t = [t1 , t2 , . . , tk ]. γ(t) = ρ(t)γ(t1 )γ(t2 ) · · · γ(tk ) f¨ Die Symmetrie σ(t) kann kombinatorisch interpretiert werden (vgl. Aufgabe 3). 2. Im folgenden Beispiel zeigen wir, wie man die entsprechenden Werte f¨ ur einen Baum mit sieben Knoten bestimmen kann. 2. Der Baum t = = [ , ] = [[ 2 ], [[ ]]] hat sieben Knoten, also ur die Dichte gilt γ( ) = 7 · γ( )γ( ) = 7 · 3 · (3 · 2) = 126.

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