Numerische Mathematik 2: eine Einfuehrung, Edition: 5. Aufl. by Josef Stoer, Roland Bulirsch

By Josef Stoer, Roland Bulirsch

Dieses zweib?ndige Standardlehrbuch bietet einen umfassenden und aktuellen ?berblick ?ber die Numerische Mathematik. Dabei wird besonderer Wert auf solche Vorgehensweisen und Methoden gelegt, die sich durch gro?e Wirksamkeit auszeichnen. Ihr praktischer Nutzen, aber auch die Grenzen ihrer Anwendung werden vergleichend diskutiert. Zahlreiche Beispiele runden dieses unentbehrliche Buch ab. Die Neuauflage des zweiten Bandes wurde vollst?ndig ?berarbeitet und erg?nzt um eine Beschreibung weiterer Techniken im Rahmen der Mehrzielmethode zur L?sung von Randwertproblemen f?r Gew?hnliche Differentialgleichungen.

"Das Lehrbuch ... setzt Ma?st?be f?r eine Numerik-Vorlesung und ist jedem Studenten der angewandten Mathematik zu empfehlen." Die Neue Hochschule

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Sei daher σ1 > 0 und x1 = 0 Eigenvektor von A H A zum Eigenwert σ12 mit x1 2 = 1: A H Ax1 = σ12 x1 . 12) Dann kann man n − 1 weitere Vektoren x2 , . . , xn ∈ Cn finden, derart daß die n × n-Matrix X := [x1 , x2 , . . , xn ] mit den Spalten xi unit¨ar wird, X H X = In . Wegen Ax1 22 = x1H A H Ax1 = σ12 x1H x1 = σ12 > 0 ist der Vektor y1 := 1/σ1 Ax1 ∈ Cm mit y1 2 = 1 wohldefiniert und man kann m − 1 weitere Vektoren y2 , . . , ym ∈ Cm finden, so daß die m × m-Matrix Y := [y1 , y2 , . . , ym ] ebenfalls unit¨ar wird, Y H Y = Im .

1) ⎡ G −1 j ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 .. 1 −l j+1, j .. 0 −ln j cond∞ (Ti ) ≤ 4, .. .. B. f¨ur Householdermatrizen: f¨ur sie gilt cond2 (Ti ) = 1. 1) benutzen, werden in den folgenden Abschnitten beschrieben. Als „einfache“ Endmatrix B = Am kann man mit diesen Hilfsmitteln f¨ur allgemeine Matrizen eine obere Hessenberg-Matrix erreichen, die von folgender Gestalt ist: ⎤ ⎡ ∗ · · · · ∗ ·⎥ ⎢∗ · ⎥ ⎢ ·⎥ ⎢0 · · bik = 0, f¨ur k ≤ i − 2. B=⎢ ⎥, ·⎥ ⎢· · · · ⎣ ⎦ · · · · · 0 · · 0 ∗ ∗ 26 6 Eigenwertprobleme Bei Hermiteschen Matrizen A = A H benutzt man zur Reduktion nur unit¨are Matrizen Ti , Ti−1 = Ti H .

X ... 12) Lz = Pt0 , Rt1 = z. F¨ur Tridiagonal- und Hessenbergmatrizen A ist L sehr d¨unn besetzt: In jeder Spalte von L sind h¨ochstens 2 Elemente von 0 verschieden. 12) nur wenige Operationen ¨ erfordert. 12) z ≈ t0 . Man kann sich daher die Arbeit noch weiter vereinfachen, indem man ausgehend von einem Vektor z nur noch t1 aus Rt1 = z bestimmt und versucht, z durch Probieren so zu w¨ahlen, daß z / t1 m¨oglichst klein wird. Ein ALGOL-Programm f¨ur die Berechnung der Eigenvektoren einer symmetrischen Tridiagonalmatrix durch inverse Iteration findet sich bei Peters, Wilkinson (1971a), FORTRAN-Programme in Smith et al.

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