Numerische Mathematik, Edition: 5., aktualisierte Auflage. by Michael Knorrenschild

By Michael Knorrenschild

Publication through Michael Knorrenschild
Dieser Band deckt die wichtigsten Themen der numerischen Mathematik ab: Grundlagen der Gleitpunktarithmetik, numerische Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen, Interpolation, Ausgleichsrechnung, numerische Differenziation und Integration sowie Grundlegendes zum numerischen Lösen von Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differenzialgleichungen.

Das Buch wendet sich an Studierende der Ingenieurwissenschaften mit dem Ziel, sie mit wesentlichen Prinzipien und Algorithmen der Numerik vertraut zu machen. Die Begriffe und Methoden werden präzise formuliert und ihr Hintergrund veranschaulicht. Zugunsten einer Vielzahl von Beispielen und Aufgaben wird auf Beweise verzichtet. Dadurch eignet sich dieser Band besonders intestine zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung.

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Zur Erinnerung: Diese Fehler entstehen in der Praxis unvermeidlich, z. B. durch Gleitpunktoperationen. Unser Ziel kann daher nur sein, durch entsprechende Gestaltung der Algorithmen daf¨ ur zu sorgen, dass diese Eingangsfehler sich im Laufe der Rechnung nicht unn¨otig verst¨ arken. 1) werden die Matrix- und Vektoreleaji multipliziert. Aus Kapitel 1 wissen wir, dass sich damit der mente mit λ = aii absolute Fehler um den Faktor |λ| vergr¨ oßert. W¨ unschenswert w¨are es daher, wenn |λ| ≤ 1 w¨are, also wenn |aji | ≤ |aii | w¨ are.

N |aii | n j=1 j=i |aij |. Falls B ∞ < 1, so ist Konvergenz des Gesamtschrittverfahrens garantiert. Dies bedeutet: n j=1 j=i |aij | < |aii |, f¨ ur alle i = 1, . . , n das sog. Zeilensummenkriterium. Matrizen, die diese Bedingung erf¨ ullen, nennt man auch diagonaldominant. ,n i=1 i=j |aij | |aii | Hinreichend f¨ ur die Konvergenz des Gesamtschrittverfahrens ist auch das Spaltensummenkriterium: n i=1 i=j |aij | < |ajj |, f¨ ur alle j = 1, . . , n. Einen Nachweis findet man z. B. in [12]. Das Einzelschrittverfahren hat, wie wir gesehen haben, die Iterationsmatrix B = −( D + L)−1 R.

Dies f¨ uhrt auf die folgende Iteration, das sog. Newton-Verfahren xn+1 = xn − f (xn ) , f ′ (xn ) n = 0, 1, . . Den Startwert x0 sollte man in der N¨ ahe der Nullstelle w¨ahlen, um Aussicht auf eine schnelle Konvergenz zu haben. 7 Die Nullstelle von f (x) = x2 − 2 soll n¨ aherungsweise mit dem NewtonVerfahren bestimmt werden. L¨osung: Die Iteration lautet xn+1 = xn − 1 1 x2n − 2 = xn + . 414213562, d. , in 4 Schritten haben wir die Nullstelle schon bis auf 10 Stellen genau berechnet. Wie genau man an der Nullstelle dran ist, weiß man nat¨ urlich nur, wenn man sie wie in diesem Fall schon kennt (und dann kann man sich nat¨ urlich jegliche Iteration sparen).

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